jose morales

miércoles, 16 de abril de 2025

TRANSFORMADA DE LA PLACE

La transformada de Laplace debe su nombre al matemático y astrónomo Pierre-Simon, marqués de Laplace , quien utilizó una transformada similar en su trabajo sobre teoría de la probabilidad . ^[ 4 ] Laplace escribió extensamente sobre el uso de funciones generadoras (1814), y la forma integral de la transformada de Laplace evolucionó naturalmente como resultado. ^[ 5 ]
El uso que Laplace hacía de las funciones generadoras era similar a lo que ahora se conoce como la transformada z , y prestó poca atención al caso de variable continua que fue analizado por Niels Henrik Abel . ^[ 6 ]
A partir de 1744, Leonhard Euler investigó integrales de la forma $z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx$ como soluciones de ecuaciones diferenciales, introduciendo en particular la función gamma . ^[ 7 ] Joseph-Louis Lagrange era un admirador de Euler y, en su trabajo sobre la integración de funciones de densidad de probabilidad , investigó expresiones de la forma $\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$ que se asemeja a una transformada de Laplace. ^[ 8 ]^[ 9 ]
Este tipo de integrales parece haber atraído la atención de Laplace por primera vez en 1782, donde seguía el ejemplo de Euler al utilizar las propias integrales como soluciones de ecuaciones. ^[ 10 ] Sin embargo, en 1785, Laplace dio un paso crucial cuando, en lugar de simplemente buscar una solución en forma de integral, comenzó a aplicar las transformadas en el sentido que posteriormente se popularizaría. Utilizó una integral de la forma $\int x^{s}\varphi (x)\,dx,$ Similar a una transformada de Mellin , para transformar la totalidad de una ecuación diferencial y buscar soluciones de la ecuación transformada. Posteriormente, aplicó la transformada de Laplace de la misma manera y comenzó a derivar algunas de sus propiedades, comenzando a apreciar su potencial. ^[ 11 ]
Laplace también reconoció que el método de Joseph Fourier de las series de Fourier para resolver la ecuación de difusión solo podía aplicarse a una región limitada del espacio, ya que dichas soluciones eran periódicas . En 1809, Laplace aplicó su transformada para encontrar soluciones que se difundían indefinidamente en el espacio. ^[ 12 ] En 1821, Cauchy desarrolló un cálculo operacional para la transformada de Laplace que podía utilizarse para estudiar ecuaciones diferenciales lineales de forma muy similar a como se utiliza actualmente en ingeniería básica. Este método fue popularizado, y quizás redescubierto, por Oliver Heaviside a principios de siglo. ^[ 13 ]
Bernhard Riemann utilizó la transformada de Laplace en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada" , donde también desarrolló el teorema de inversión. Riemann utilizó la transformada de Laplace para desarrollar la ecuación funcional de la función zeta de Riemann , y este método aún se utiliza para relacionar la ley de transformación modular de la función theta de Jacobi , que es fácil de demostrar mediante la suma de Poisson , con la ecuación funcional.
Hjalmar Mellin fue uno de los primeros en estudiar rigurosamente la transformada de Laplace, en la escuela de análisis de Karl Weierstrass , y aplicarla al estudio de ecuaciones diferenciales y funciones especiales a principios del siglo XX. ^[ 14 ] Casi al mismo tiempo, Heaviside se dedicaba a su cálculo operacional. Thomas Joannes Stieltjes consideró una generalización de la transformada de Laplace relacionada con su trabajo sobre momentos . Otros contribuyentes en este período fueron Mathias Lerch , ^[ 15 ] Oliver Heaviside y Thomas Bromwich . ^[ 16 ]
En 1929, Vannevar Bush y Norbert Wiener publicaron Operational Circuit Analysis como un texto para el análisis de ingeniería de circuitos eléctricos, aplicando tanto las transformadas de Fourier como el cálculo operacional, y en el que incluyeron uno de los primeros precesadores de la moderna tabla de transformadas de Laplace. En 1934, Raymond Paley y Norbert Wiener publicaron la importante obra Fourier transforms in the complex domain , sobre lo que ahora se llama la transformada de Laplace (véase más adelante). También durante los años 30, la transformada de Laplace fue instrumental en el estudio de los teoremas de Tauberian de GH Hardy y John Edensor Littlewood , y esta aplicación fue posteriormente expuesta por Widder (1941), quien desarrolló otros aspectos de la teoría, tales como un nuevo método para la inversión. Edward Charles Titchmarsh escribió la influyente Introducción a la teoría de la integral de Fourier (1937).
El uso generalizado actual de la transformada (principalmente en ingeniería) surgió durante y poco después de la Segunda Guerra Mundial , ^[ 17 ] sustituyendo al anterior cálculo operacional de Heaviside . Las ventajas de la transformada de Laplace fueron destacadas por Gustav Doetsch , ^[ 18 ] a quien aparentemente se debe el nombre de transformada de Laplace.

Definición formal

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$\Re (e^{-st})$ para varias frecuencias complejas en el dominio s $(s=\sigma +i\omega ),$ que puede expresarse como $e^{-\sigma t}\cos(\omega t).$ El $\sigma =0$ El eje contiene cosenos puros. Positivo $\sigma$ contiene cosenos amortiguados . Negativo $\sigma$ contiene cosenos que crecen exponencialmente .
La transformada de Laplace de una función $f (t)$ , definida para todos los números reales $t \geq 0$ , es la función $F (s)$ , que es una transformada unilateral definida por
$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,$ ( Ecuación 1 )
donde s es un parámetro complejo del dominio de la frecuencia $s=\sigma +i\omega$ con números reales $σ$ y $ω$ .
Una notación alternativa para la transformada de Laplace es ${\mathcal {L}}\{f\}$ en lugar de $F$ , ^[ 3 ] a menudo escrito como $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$ en un abuso de notación .
El significado de la integral depende del tipo de función de interés. Una condición necesaria para su existencia es que $f$ sea localmente integrable en $[0, \infty)$ . Para funciones localmente integrables que decaen en el infinito o son de tipo exponencial ( $|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$ ), la integral puede entenderse como una integral de Lebesgue (propia) . Sin embargo, para muchas aplicaciones es necesario considerarla como una integral impropia condicionalmente convergente en $\infty$ . De forma más general, la integral puede entenderse en sentido débil , lo cual se aborda a continuación.
Se puede definir la transformada de Laplace de una medida de Borel finita $μ$ mediante la integral de Lebesgue ^[ 19 ] ${\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).$
Un caso especial importante es cuando $μ$ es una medida de probabilidad , por ejemplo, la función delta de Dirac . En cálculo operacional , la transformada de Laplace de una medida suele tratarse como si esta proviniera de una función de densidad de probabilidad $f$ . En ese caso, para evitar posibles confusiones, se suele escribir ${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,$ donde el límite inferior de $0 -$ es la notación abreviada para $\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.$
Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en $0$ queda completamente capturada por la transformada de Laplace. Si bien con la integral de Lebesgue no es necesario tomar dicho límite, sí parece más natural en relación con la transformada de Laplace-Stieltjes .

https://youtu.be/dAl0muR-hPA

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