Ecuaciones de Bernoulli

Forma General de una Ecuación de Bernoulli
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y$ , se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea $\frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0$ y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

Veamos a continuación, que este tipo de ecuaciones diferenciales se puede generalizar con el fin de desarrollar un método que nos permita calcular la solució

Forma General de una Ecuación de Bernoulli

Para cualquier número natural $n$ , diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n$

Los casos para los cuales $n=0$ y $n=1$ fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Así que veremos a continuación, el caso en el que $n \geq 2$ . Podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

$u=y^{1-n}$

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2$

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por $3x$ para obtener

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar $u=y^{1-n}$ que en este caso, $n=2$ , por lo tango estará expresada como $u=y^{-1}$ de donde podemos despejar $y$ elevando a $-1$ y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a $\frac{1}{1-n}$ ambos lados de la ecuación para obtener que

$y=u^{-1}$

Será necesario calcular el diferencial de $y$ , así que usando la regla de la cadena concluimos que

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}$

Entonces, sustituimos $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

$\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2$

$\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}$

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por $-u^{-2}$ y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

Identificamos la función $P(x)$ que nos permite calcular el factor integrante de la siguiente manera

$P(x) = - \frac{2}{x} \Rightarrow \rho(x) = \textit{\Large e}^{\int - \frac{2}{x}} = x^{-2}$

Entonces, calculamos la solución de la ecuación diferencial

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

$\; \Rightarrow \; x^{-2}\frac{du}{dx} - x^{-2}\frac{2}{x}u = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \frac{x^{-2} u}{dx} = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \int \frac{x^{-2} u}{dx} = \int -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; x^{-2} u = \frac{4}{x} + C$

$\; \Rightarrow \; u = 4x + Cx^2$

Finalmente, ya que hemos expresado la variable auxiliar $u$ en función de $x$ , volvemos a sustituirla para obtener $y$

$y^{-1} = 4x + Cx^2 \Rightarrow y = \frac{1}{4x + Cx^2}$

DE DONDE SALE EL FACTOR INTEGRANTE O FACTOR DE INTEGRACIÓN

Después de leer este artículo te será muy claro de dónde sale el factor integrante para resolver Ecuaciones Diferenciales (ED) Lineales de 1er Orden y podrás relacionarlo fácilmente con conocimiento previo que te permitirá recordar con facilidad el método.

Aprendiendo el método que utiliza el Factor Integrante para resolver una Ecuación Diferencial, podrás resolver cualquier ED lineal de 1er Orden, sin excepción. El método se resume al final.

Para desarrollar este tema haremos uso del siguiente método:

Metodología

Relacionaremos la forma de la regla de derivación conocida como la «Regla del Producto» entre un producto de funciones con la forma Estándar de una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden, con el fin de adecuar la segunda a la primera y así poder encontrar una función que permita integrar a la Ecuación Diferencial lineal, para conocer su solución integrando una forma conocida para nosotros proveniente de nuestro estudio del calculo Diferencial-Integral, la Regla del Producto.

Esta idea es fácilmente imaginable si se tiene en mente la forma de la Ecuación Diferencial Lineal y se tiene presente que una de las formas de encontrar la solución de un Ecuación Diferencial (la cual es una función), es utilizando las formas conocidas (ecuaciones) de derivación de funciones, ya que una Ecuación Diferencial es un conjunto de derivadas.

De esta forma, con nuestro conocimiento de Cálculo Integral podremos encontrar las antiderivadas de las formas conocidas de derivación.

En nuestro caso, como veremos más adelante, necesitaremos agregar una variable adicional a la forma estándar de la Ecuación Diferencial Lineal (la cual es una función que funge como factor que permite integrar la ecuación), para que la relación de ésta con la forma de la Regla del Producto sea evidente y así, poder integrar la ED lineal fácilmente.

A la función que funge como factor que permite adecuar la forma estándar de la Ecuación Diferencial Lineal a la forma de la «Regla del producto», se le conoce como factor integrante.

Regla del Producto y su forma diferencial

Bueno, entrando en materia, recordemos nuestras clases de cálculo diferencial-integral en la parte donde aprendimos a integrar mediante diferentes técnicas o artificios. Uno de esos artificios fue la Integración por Partes. Esta técnica la obtuvimos de una de las reglas de derivación llamada «Regla del Producto«, la cual dice:

La derivada de un producto de funciones es igual a la suma del producto de la primera función por la derivada de la segunda más el producto de la segunda función por la derivada de la primera.