Separación de Variables

La Separación de Variables es un método especial para resolver algunas ecuaciones diferenciales

Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:

dy/dx = 5xy

Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada  dy/dx

   ¿Cuándo se puede usar?

Separación de Variables: dy/dx = 5xy se convierte en dy/y = 5x dx

La separación de variables se puede utilizar cuando:

se pueden mover todos los términos y (incluido dy) a un lado de la ecuación y

todos los términos x (incluido dx) al otro lado.

Método

Consiste en tres pasos:

Paso 1 Mover todos los términos y (incluido dy) a un lado de la ecuación y todos los términos x (incluido dx) al otro lado.

Paso 2 Integrar un lado con respecto a y y el otro lado con respecto a x. No olvides "+ C" (la constante de integración).

Paso 3 Simplificar

Ejemplo: Resuelve esto (k es una constante):  dy/dx = ky

Paso 1 Separa las variables moviendo todos los términos y a un lado de la ecuación y todos los términos x al otro lado:

Multiplica ambos lados por dx: dy = ky dx

Divide ambos lados por y:  dyy = k dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

Coloca los signos de integración: ∫  dyy= ∫ k dx

Integra el lado izquierdo: ln(y) + C = ∫ k dx

Integra el lado derecho: ln(y) + C = kx + D

C es una constante de integración. Y usamos D para la otra, ya que es una constante diferente.

Paso 3 Simplifica:

Podemos combinar ambas constantes (a=D−C): ln(y) = kx + a

e(ln(y)) = y , así que podemos usar una propiedad de  exponentes/logaritmos en ambos lados: y = ekx + a

Y además podemos separar ekx + a = ekx ea, así que: y = ekx ea

ea es solo una constante, así que la reemplazamos con c: y = cekx

La hemos resuelto:y = cekx

Este es un tipo general de ecuación diferencial de primer orden que aparece en todo tipo de lugares inesperados en ejemplos del mundo real.

Bien, vamos a ver algunos ejemplos diferentes de separación de variables:

Ejemplo: Resuelve:

                                  dy/dx=1/y

                                                 

 

Paso 1 Separa las variables moviendo todos los términos y a un lado de la ecuación y todos los términos x al otro lado:

Multiplica ambos lados por dx: dy = (1/y) dx

Multiplica ambos lados por y: y dy = dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

Coloca los signos de integración: ∫ y dy = ∫ dx

Integra cada lado: (y2)/2 = x + C

Integramos ambos lados en un solo paso.

También usamos un atajo al usar solo una constante de integración C. Esto es perfectamente válido ya que podríamos tener +D en una, +E en la otra y simplemente decir que C = E−D.

 

Paso 3 Simplifica:

Multiplica ambos lados por 2: y2 = 2(x + C)

Raíz cuadrada en ambos lados: y = ±√(2(x + C))

Nota: Esto no es lo mismo que y = √(2x) + C, porque la C se agregó antes de sacar la raíz cuadrada. Esto sucede mucho con las ecuaciones diferenciales. No podemos simplemente agregar la C al final del proceso. Se agrega al hacer la integración.

La hemos solucionado:

y = ±√(2(x + C))

Un ejemplo más difícil:

Ejemplo: Resuelve:

dy

dx=  2xy1+x2

 

 

Paso 1 Separa las variables:

Multiplica ambos lados por dx, divide ambos lados por y:1y dy =  2x1+x2 dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

∫ 1y dy = ∫ 2x1+x2 dx

El lado izquierdo es un logaritmo simple, y el lado derecho se puede integrar mediante sustitución:

Sea u = 1 + x2, por lo que du = 2x dx: ∫ 1y dy = ∫ 1udu

Integra: ln(y) = ln(u) + C

Luego hacemos C = ln(k): ln(y) = ln(u) + ln(k)

Así que tenemos: y = uk

Ahora sustituye de vuelta u = 1 + x2: y = k(1 + x2)

 

Paso 3 Simplifica:

Ya es tan simple como puede ser. La hemos solucionado:

y = k(1 + x2)