Ecuaciones con valores iniciales

Las ecuaciones diferenciales con valores iniciales son fundamentales en matemáticas aplicadas y física, ya que modelan una amplia variedad de fenómenos naturales y procesos dinámicos. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) con valores iniciales se expresa generalmente como:

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \]

con una condición inicial \( y(x_0) = y_0 \). La solución de esta ecuación es una función \( y(x) \) que satisface tanto la ecuación diferencial como la condición inicial. Existen varios métodos para resolver estas ecuaciones, incluyendo métodos analíticos como la separación de variables y la integración directa, así como métodos numéricos como el método de Euler y el método de Runge-Kutta

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial

${\displaystyle y^{\prime }(t)=f(t,y(t))}$ con ${\displaystyle f:\mathrm{\Omega }\subset \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ es un conjunto abierto ${\displaystyle \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n}$, junto con un punto en el dominio de ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_0,y_0)\in \mathrm{\Omega }}$,

llamada la condición inicial.

Una solución a un problema de valor inicial es una función  que es una solución a la ecuación diferencial y satisface

.

En muchas más dimensiones, la ecuación diferencial se reemplaza con una familia de ecuaciones , y  se ve como el vector . Más generalmente, la función desconocida  puede tomar valores sobre espacios dimensionales infinitos, tal como espacios de Banach o espacios de distribuciones.

Los problemas de valor inicial pueden extenderse a mayores órdenes utilizando sus derivadas de la misma forma que se utiliza la función, es decir