Ecuaciones con valores iniciales

Las ecuaciones diferenciales con valores iniciales son fundamentales en matemáticas aplicadas y física, ya que modelan una amplia variedad de fenómenos naturales y procesos dinámicos. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) con valores iniciales se expresa generalmente como:

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \]

con una condición inicial \( y(x_0) = y_0 \). La solución de esta ecuación es una función \( y(x) \) que satisface tanto la ecuación diferencial como la condición inicial. Existen varios métodos para resolver estas ecuaciones, incluyendo métodos analíticos como la separación de variables y la integración directa, así como métodos numéricos como el método de Euler y el método de Runge-Kutta

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial

${\displaystyle y^{\prime }(t)=f(t,y(t))}$ con ${\displaystyle f:\mathrm{\Omega }\subset \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ es un conjunto abierto ${\displaystyle \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n}$, junto con un punto en el dominio de ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_0,y_0)\in \mathrm{\Omega }}$,

llamada la condición inicial.

Una solución a un problema de valor inicial es una función  que es una solución a la ecuación diferencial y satisface

.

En muchas más dimensiones, la ecuación diferencial se reemplaza con una familia de ecuaciones , y  se ve como el vector . Más generalmente, la función desconocida  puede tomar valores sobre espacios dimensionales infinitos, tal como espacios de Banach o espacios de distribuciones.

Los problemas de valor inicial pueden extenderse a mayores órdenes utilizando sus derivadas de la misma forma que se utiliza la función, es decir 

 

 

Jose Morales                                                                                               23-01-25

ECUACIONES DIFERENCIALES: 

Confirmacion de solucion de la ecuacion diferencial

 En la entrada anterior vimos lo que son las ecuaciones diferenciales (ED), en particular las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con las que trabajaremos a lo largo del curso. Vimos también como clasificarlas por tipo, orden y linealidad.

Mencionábamos que lo que nos interesa al tener una ecuación diferencial es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente, hallar dicha función significa que hemos resuelto la ecuación diferencial y a la función encontrada la llamaremos función solución, o simplemente solución. Antes de aprender a resolver ecuaciones diferenciales, en esta entrada estudiaremos las propiedades mismas de una solución

Ecuaciones diferenciales generales

Considere la ecuación y′ = 3x², que es un ejemplo de una ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables x e y: y es una función desconocida de x. Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de y. Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera: comience con alguna función y = f (x) y tome su derivada. La respuesta debe ser igual a 3x². ¿Qué función tiene una derivada que sea igual a 3x²? Una de esas funciones es y = x³, por lo que esta función se considera una solución para la ecuación diferencial y′ = 3x².

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y = f (x) y una o más de sus derivadas. Una solución a una ecuación diferencial es una función y = f (x) que satisface la ecuación diferencial cuando f y sus derivadas se sustituyen en la ecuación. ◊

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales y algunos de sus soluciones particulares aparecen en la Tabla

Verifique que la función

es una solución a la ecuación diferencial y′ + 3y = 6x + 11.

Solución:

Para verificar la solución, primero calculamos y′ usando la regla de la cadena para derivadas. Esto da

A continuación, sustituimos y e y′ en el lado izquierdo de la ecuación diferencial:

La expresión resultante se puede simplificar distribuyendo primero para eliminar los paréntesis, dando

La combinación de términos similares conduce a la expresión 6x + 11, que es igual al lado derecho de la ecuación diferencial. Este resultado verifica quees una solución de la ecuación diferente