jose morales

JOSE MORALES 25/07/2024

DERIVADA EXPONENCIAL

La derivada (tasa de cambio) de la función exponencial es la función exponencial en sí misma. Más generalmente, una función con una tasa de cambio proporcional a la función en sí misma (en lugar de ser igual a ella) es expresable en términos de la función exponencial.

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.

https://youtu.be/zcs6JXHZQtI

DERIVADAS LOGARITMICAS

Qué significa derivada de la función logarítmica en Matemáticas. La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

La derivada de un logaritmo natural (o logaritmo neperiano) es el cociente de la derivada del argumento del logaritmo dividido entre la función del argumento.

$f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}$

Lógicamente, si la función dentro del logaritmo es la función identidad, en el numerador de la derivada queda un 1:

$f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}$

Fíjate en el siguiente ejemplo en el que se resuelve la derivada del logaritmo natural de 3x:

$f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}$

Recuerda que el logaritmo natural es un logaritmo cuya base es el número e (número de Euler).

$\ln(x)=\log_e(x)$

Derivada de un logaritmo en base a

La derivada de un logaritmo en cualquier base es igual a 1 partido por el producto de x por el logaritmo natural de la base del logaritmo original.

$f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}$

De manera que si aplicamos la regla de la cadena, la regla de la derivada logarítmica queda:

$f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}$

Por ejemplo, la derivada del logaritmo en base 2 de x al cuadrado es:

$f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}$

Fórmula de la derivada de una función logarítmica

Vista la definición de la derivada logarítmica y sus dos posibles variantes, a continuación tienes un resumen de las dos fórmulas para que te sea más fácil memorizarlas.

https://youtu.be/BMJIhGGAed0

jose morales

viernes, 26 de julio de 2024

Derivada de un logaritmo en base a

Fórmula de la derivada de una función logarítmica

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